domingo, 25 de janeiro de 2009

Matemática - Teorema de Pitágoras






O Teorema de Pitágoras é provavelmente o mais célebre dos teoremas da matemática. Enunciado pela primeira vez por filósofos gregos chamados de pitagóricos, estabelece uma relação simples entre o comprimento dos lados de um triângulo retângulo:
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Se c designar o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos catetos, o teorema afirma que:
CxC = AxA + BxB (não estou consequindo evelar as letras ao quadrado!)

Passos históricos
Durante séculos, os matemáticos questionaram: "Qual a demonstração feita por Pitágoras?". Hoje, parece não existir mais dúvidas de que Pitágoras teria seguido os seguintes passos:

- Provável forma usada por Pitágoras para demonstrar o teorema que leva o nome.
- Desenha-se um quadrado de lado a + b;
- Traçam-se dois segmentos paralelos aos lados do quadrado;
- Divide-se cada um destes dois rectângulos em dois triângulos retos, traçando as diagonais.
- Chama-se C o comprimento de cada diagonal;
A área da região formada ao retirar os quatro triângulos retos é igual a a2 + b2;
- Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado a + b, mas colocamos os quatro triângulos retos noutra posição.
Assim, a área da região formada quando se retiram os quatro triângulos retos é igual a: c2
Foi assim que Pitágoras chegou à conclusão de que: a2 + b2 = c2, ou seja, num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual á soma dos quadrados dos catetos. O segmento de medida c foi chamado de hipotenusa e os de medida a e b foram chamados de catetos.
Outros matemáticos, muito antes de Pitágoras, conheciam o teorema mas nenhum deles, até então, havia conseguido demonstrar que ele era válido para qualquer triângulo retângulo.
Talvez nenhuma outra relação geométrica seja tão utilizada em matemática como o Teorema de Pitágoras. Ao longo dos séculos, foram sendo registrados muitos problemas curiosos, cuja a resolução tem como base este famoso teorema.

Generalizações
O teorema de Pitágoras permite calcular um lado de um triângulo rectângulo conhecendo os outros dois. O teorema dos cossenos permite calculá-lo num triângulo qualquer.
O teorema de Pitágoras pode ser generalizado para um n-simplex rectângulo: o quadrado do (n-1)-volume da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos (n-1)-volumes dos catetos. Em particular, num tetraedro rectângulo (isto é, que tem 3 faces perpendiculares entre si - os catetos), o quadrado da área da hipotenusa (a face que não é perpendicular às restantes) é igual à soma dos quadrados das áreas dos catetos.
Pitágoras dizia que"em todo triângulo retângulo, a soma das áreas dois quadrados dos catetos é igual à área dos quadrados da hipotenusa".

Fontes de pesquisa:

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